Изучение динамики движения звёзд в галактиках, происходящего под действием гравитационных сил, является важной частью астрофизики и космологии. Особенный интерес эта задача представляет в случае, когда распределение массы не обладает достаточной степенью симметрии – например, для трёхосных звёздных систем, размер которых различен по всем трём направлениям. В этом случае из классических интегралов движения остаётся только полная энергия звезды (в случае стационарного потенциала), т.к. никакие компоненты момента импульса не сохраняются в отсутствие вращательной симметрии потенциала. Это приводит к тому, что часть орбит звёзд являются хаотическими, и даже многие регулярные орбиты могут подходить сколь угодно близко к центру потенциала.
Исследование трёхосных галактик ставит ряд интересных вопросов, в частности, о самой возможности существования равновесных систем с заданным профилем плотности и степенью асимметрии (трёхосности). Её можно определить как отношение масштабных радиусов в направлении большой, средней и малой осей (традиционно обозначаемых как a, b, c). Одним из наиболее удобных способов построения равновесных моделей галактик является метод Шварцшильда [1], который состоит в следующем. Сначала задаётся некоторая модель распределения плотности и гравитационного потенциала, затем создаётся библиотека орбит с всевозможными начальными данными, путём численного интегрирования уравнений движения в заданном потенциале. Каждая орбита покрывает какую-то определённую область пространства и создаёт в ней своё усреднённое по времени распределение плотности. Чтобы получить самосогласованную модель, нужно скомбинировать орбиты таким образом (с таким удельным весом), чтобы получить исходный профиль плотности модели. Это делается с помощью решения задачи оптимизации – методом линейного или квадратичного программирования, т.е. решения матричной системы уравнений с ограничениями в виде неотрицательного удельного веса каждой орбиты.
Нами была создана программа SMILE для решения комплекса задач, связанных с изучением орбит и построением самосогласованных моделей галактик. Помимо собственно реализации метода Шварцшильда, в ней реализованы методы классификации орбит на основе спектрального анализа траектории (разложения вектора координат в ряд Фурье и выделения фундаментальных частот движения), вычисления показателей Ляпунова (свидетельствующих о регулярном или хаотическом характере движения), построения карт частот и сечений Пуанкаре для ансамбля орбит. Последняя техника позволяет делать выводы о глобальной структуре орбит в заданном потенциале, в частности, очень важную роль играет наличие и «мощность» резонансов. Резонансными называются орбиты, для которых ведущие частоты колебаний по трём координатам w1, w2, w3 удовлетворяют соотношению k1*w1+k2*w2+k3*w3=0, где ki – целые числа. На карте частот откладываются отношения w1/w3 и w2/w3 по горизонтали и вертикали, и резонансные орбиты с одним и тем же набором величин k группируются вдоль одной прямой. Простейшим примером резонансов являются орбиты-трубки, в которых две из трёх частот совпадают, т.ч. звезда вращается в одном и том же направлении вокруг одной из координатных осей.
Важность резонансных орбит состоит в том, что они образуют «островки стабильности» в фазовом пространстве, т.е. орбиты вблизи резонансов являются регулярными либо слабо хаотическими, сохраняющими свой характер на протяжении многих орбитальных периодов [2]. Для трёхосных потенциалов, в которых резонансных орбит мало, многие орбиты являются сильно хаотическими. Это накладывает ограничения на возможность существования самосогласованных решений для стационарной модели галактики: если заметная доля звёзд будут на хаотических орбитах, можно ожидать, что со временем они будут испытывать т.н. хаотическую диффузию и переходить в другие области фазового пространства, изменяя степень «сплюснутости» профиля плотности (соотношение осей) и разрушая самосогласованность решения. Из общих соображений можно ожидать, что трёхосное распределение будет эволюционировать в сторону сферической или аксиальной симметрии, т.е. выравнивания осей a, b, и c. Это происходит потому, что хаотические орбиты имеют в среднем более круглую форму, ограниченную эквипотенциальной поверхностью, которая всегда менее сплюснута, чем поверхность равной плотности.
Кроме того, помимо такой вековой эволюции из-за влияния хаотических орбит, в звёздной системе могут происходить и более быстрые изменения, связанные с динамическими неустойчивостями. Одним из наиболее ярких примеров является неустойчивость радиальных орбит [3], возникающая, если отношение дисперсий скоростей звёзд в радиальном и тангенциальном направлениях превышает определённую критическую величину. Для сферических систем она приводит к образованию X-образных структур и возникновению трёхосного распределения плотности одновременно с изотропизацией скоростей, но она также может возникать и в изначально трёхосных системах [4]. Эта и другие виды неустойчивостей не могут быть выявлены на стадии создания модели Шварцшильда, т.к. по определению являются коллективными эффектами в задаче многих тел. Их можно обнаружить либо по изучению линейных мод колебаний в системе (но этот метод, по-видимому, неприменим в случае неинтегрируемых систем), либо путём прямого N-body моделирования.
Мы исследовали существование и устойчивость трёхосных галактик на примере профиля плотности Денена [5]: rho(m) = m–g(1+m)–4+g, где m=(x2/a2+y2/b2+z2/c2)1/2 – эллиптический радиус, а g – показатель степени профиля плотности в центре. Эта модель достаточно хорошо описывает эллиптические галактики, т.к. распределение поверхностной яркости близко к закону де Вокулёра, или «R1/4». Кроме того, отмечено, что менее массивные галактики обычно имеют больший показатель степени g. Мы подробно исследовали модели с g=1 («слабый касп») и g=2 («сильный касп»), приняв соотношение осей равным a:b:c = 1:0.8:0.5. Структура фазового пространства для профиля Денена была рассмотрена в [2], а построение самосогласованных моделей методом Шварцшильда – в [6,7]. Однако устойчивость этих моделей и роль хаотических орбит в эволюции формы галактики до сих пор не были исследованы.
Рис.1: карта частот для моделей Денена с показателем степени g=1 (слева) и g=2 (справа). Синие точки соответствуют регулярным орбитам, красные – хаотическим. Видно, что в первом случае значительная часть орбит группируется вдоль различных прямых, соответствующих резонансам, причём даже многие хаотические орбиты близки к резонансным областям. Во втором случае регулярные орбиты ограничены практически только двумя семействами трубок, а все остальные орбиты довольно сильно хаотичны.
Рис. 1 демонстрирует, что две модели довольно существенно различаются по структуре фазового пространства: в случае слабого каспа заметная доля орбит принадлежит резонансным семействам, а многие хаотические орбиты «мимикрируют» под регулярные резонансы на протяжении многих орбитальных периодов (т.н. «липкие орбиты» [2]). В случае же сильного каспа примерно половина орбит являются трубками, а остальные – достаточно сильно хаотическими. Это имеет прямое отношение к тому, как происходит медленная (вековая) эволюция формы модели под действием диффузии хаотических орбит.
Прежде всего, нужно отметить, что построить самосогласованную модель методом Шварцшильда невозможно без включения в неё хаотических орбит (их доля колеблется от 1/3 до 1/2). Далее, N-body моделирование эволюции галактики показывает, что модель со слабым каспом практически не изменяет свою форму: «липкие орбиты» продолжительное время находятся в ограниченных областях фазового пространства вблизи резонансов, при этом их пространственная плотность имеет достаточно «сплюснутый» вид, чтобы поддерживать трёхосное глобальное распределение плотности. Модель с сильным каспом, напротив, заметно изменяется за время жизни галактики, приближаясь к осесимметричной (b/a ~ 1). Также была рассмотрена модель, в которой движение звёзд происходит не в меняющемся со временем потенциале N-body системы, а в стационарном потенциале, соответствующем исходной модели, т.е. звёзды не взаимодействуют друг с другим. В этом случае динамические неустойчивости не могут возникать, и эволюция происходит только за счёт хаотической диффузии. Как видно из рис.2, скорость изменения формы в «замороженном» потенциале сравнима со скоростью эволюции «живой» модели.
Кроме того, мы исследовали возникновение неустойчивости радиальных орбит и установили, что пороговое значение анизотропии скоростей в центре составляет примерно b=0.4 (т.е. дисперсия радиальной скорости превышает тангенциальную в полтора раза), в согласии с результатом работы [4], полученном для другой модели плотности.
Рис.2: эволюция формы (отношения осей b/a и c/a) моделей со слабым (слева) и сильным (справа) каспом. Интервал времени t=1000 примерно соответствует возрасту галактики. Видно, что в первом случае изменение формы очень мало, а во втором – весьма существенно. Красной линией обозначена эволюция N-body системы, синей – системы в фиксированном потенциале, для которой динамические неустойчивости отключены и единственной причиной изменения формы является хаотическая диффузия.
Таким образом, мы показали, что наличие и свойства хаотических орбит могут оказывать заметное влияние на поведение формы галактики на масштабах времени, много больших орбитального периода звёзд и сравнимого с временем жизни Вселенной. Изменение формы в сторону осесимметричной происходит для таких галактик, потенциал которых допускает существование большой доли сильно хаотических орбит, и практически незаметно в случае, если структура потенциала богата резонансными семействами орбит.
По результатам исследования направлено в печать две работы [8,9].
Другим направлением исследований было изучение структуры орбит звёзд вблизи сверхмассивных чёрных дыр. С одной стороны, в настоящее время доступны качественные наблюдения звёзд в центре нашей Галактики, для некоторых из них уже построены полные трёхмерные орбиты [10]. С другой стороны, эти данные позволяют сделать выводы о массе и вращении чёрной дыры, а в будущем, при наличии ещё более точных наблюдений – и провести ещё одну проверку общей теории относительности [11].
На достаточно больших временах орбиты звёзд могут изменяться под действием гравитационного рассеяния звёзд друг на друге. В окрестности сверхмассивной чёрной дыры этот процесс идёт более эффективно, чем в обычных условиях, и называется резонансной релаксацией [12,13]. Кроме того, при наличии трёхосной асимметрической компоненты потенциала орбиты звёзд прецессируют с изменением углового момента. Структуру орбит вблизи чёрной дыры удобно анализировать с помощью орбитально-усреднённого подхода [14].
Нами была подробно рассмотрена задача об эволюции орбит в окрестностях сверхмассивных чёрных дыр при наличии трёхосного потенциала. Орбиты за пределами области влияния чёрной дыры часто бывают хаотическими [15], но вблизи чёрной дыры движение почти регулярно, т.к. является комбинацией кеплеровского движения в поле центрального тела и малого возмущения со стороны остальных звёзд. В дополнение к известным типам трубчатых орбит, описанным в [14], обнаружен и исследован новый класс орбит – т.н. пирамидные орбиты. Их основная особенность заключается в том, что момент импульса для них, изменяясь со временем под действием трёхосного возмущающего потенциала, может принимать очень малые значения. Таким образом, эти орбиты могут эффективно захватываться чёрной дырой и служить источником материала для её роста.
Мы провели расчёты темпа захвата звёзд с пирамидных орбит для нашей Галактики и показали, что характерное время жизни для них составляет ок. 108 – 109 лет, т.е. гораздо меньше возраста Галактики. (рис.3)
Кроме того, были рассмотрены поправки к движению, связанные с учётом эффектов общей теории относительности (ОТО). Оказалось, что они приводят к возникновению хаоса в решении уравнений движения, но в целом характер орбиты остаётся прежним. Однако, эффекты ОТО приводят к появлению ограничения сверху на величину эксцентриситета орбиты. Было показано, что учёт этих эффектов слабо влияет на характер и свойства орбиты, если её радиус лежит в пределах 0.5 – 3 пс, но для более близких к чёрной дыре орбит ограничение на эксцентриситет предотвращает их захват чёрной дырой. Более того, такое же ограничение справедливо и для эффекта резонансной релаксации.
Расчёты проводились как аналитически, так и численно с использованием разработанного нами программного пакета SMILE.
По результатам работы опубликована статья в Astrophysical Journal [16].
Рис.3: Характерные временные масштабы в центре нашей Галактики (в зависимости от расстояния от чёрной дыры). Tdrain – время жизни звёзд на пирамидных орбитах (для двух разных значений параметра трёхосности). Звёзды захватываются чёрной дырой, если радиус их орбит находится в пределах 0.5 – 3 пс.
Таким образом, мы рассмотрели ряд задач, связанных со структурой и эволюцией трёхосных галактик. В процессе работы создан программный комплекс SMILE для расчёта и анализа орбит и построения моделей Шварцшильда. Программа опубликована в интернете по адресу http://td.lpi.ru/~eugvas/smile/.
Литература:
[1] Schwarzschild, M. A numerical model for a triaxial stellar system in dynamical equilibrium / M. Schwarzschild // Astrophys.J. – 1979 – Vol.232 – P.236.
[2] Valluri, M. Regular and chaotic dynamics of triaxial stellar systems / M. Valluri, D. Merritt // Astrophys.J. – 1998 – Vol.506 – P.686.
[3] Поляченко, В. Анализ устойчивости сферически симметричных звёздных систем / В.Л.Поляченко, И.Г.Шухман // Астрон.журнал – 1981 – т.58 – с.933.
[4] Antonini, F. A counterpart to the radial-orbit instability in triaxial stellar systems / F. Antonini, R. Capuzzo-Dolcetta, D. Merritt // MNRAS – 2009 – Vol.399 – P.671.
[5] Dehnen, W. A family of potential-density pairs for spherical galaxies and bulges / W. Dehnen // MNRAS – 1993 – Vol.265 – P.250.
[6] Merritt, D. Triaxial galaxies with cusps / D. Merritt, T. Fridman // Astrophys.J. – 1996 – Vol.460 – P.136.
[7] Siopis, C. Non-uniqueness and structural stability of self-consistent models of elliptical galaxies / C. Siopis // PhD thesis, Florida State University – 1999.
[8] Vasiliev, E. A new code for orbital analysis and Schwarzschild modelling and its application to triaxial Dehnen models / E. Vasiliev // MNRAS (submitted).
[9] Vasiliev, E. Chaotic mixing and the secular evolution of triaxial cuspy galaxy models built with Schwarzschild's method / E. Vasiliev, E. Athanassoula // MNRAS (submitted).
[10] Schödel, R. Stellar Dynamics in the Central Arcsecond of Our Galaxy / R. Schödel [et al.] // Astrophys.J. – 2003 – Vol. 596 – P.1015
[11] Merritt, D. Testing properties of the Galactic center black hole using stellar orbits / D. Merritt [et al.] // Phys.Rev.D – 2010 – vol.81 – P.062002
[12] Rauch, K. Resonant relaxation in stellar systems / K. Rauch, S. Tremaine // New Astron. – 1996 – Vol.1 – P.149.
[13] Hopman, C. Resonant Relaxation near a Massive Black Hole / C. Hopman, T. Alexander // Astrophys.J. – 2006 – Vol.645 – P.1152
[14] Sambhus, N. Stellar orbits in triaxial clusters around black holes in galactic nuclei / N. Sambhus, S. Sridhar // Astrophys.J. – 2000 – Vol.542 – P.143.
[15] Merritt, D. Chaotic loss cones and black hole fueling / D. Merritt, M.-Y. Poon // Astrophys.J. – 2004 – Vol.606 – P.788.
[16] Merritt, D. Orbits Around Black Holes in Triaxial Nuclei / D. Merritt, E. Vasiliev // Astrophys.J. – 2011 – Vol.726 – P.61.